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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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6. Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
b) f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}

Respuesta

Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊

1) El dominio de la función es R\mathbb{R}

2) Calculamos f′(x)f'(x) y f′′(x)f''(x)

f′(x)=−2x⋅e−x2 f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2}

f′′(x)=−2e−x2+4x2⋅e−x2=e−x2(4x2−2)  f''(x) = -2e^{-x^2} + 4x^2 \cdot e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 - 2) 

3) Igualamos f′′(x)f''(x) a cero para encontrar los puntos de inflexión

 e−x2(4x2−2)=0 e^{-x^2}(4x^2 - 2) = 0

Como la exponencial nunca es cero, esta multiplicación vale cero si (4x2−2)=0(4x^2 - 2) = 0 y los resultados de esta cuadrática igualada a cero son: x=12 x = \sqrt{\frac{1}{2}} y x=−12 x = -\sqrt{\frac{1}{2}}

4) Dividimos la recta real en intervalos donde f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:

a) (−∞,−12)→f′′(x)>0→f(x) (-\infty, -\sqrt{\frac{1}{2}}) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia arriba.
b) (−12, 12)→f′′(x)<0→f(x) (-\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia abajo.
c) (12,+∞)→f′′(x)>0→f(x) (\sqrt{\frac{1}{2}}, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia arriba.
Los puntos de inflexión se encuentran en x=−12  x = -\sqrt{\frac{1}{2}}  y x= 12  x = \sqrt{\frac{1}{2}} , donde la concavidad de la función cambia.
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