Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
b) $f(x)=e^{-x^{2}}$
b) $f(x)=e^{-x^{2}}$
Respuesta
Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊
Reportar problema
1) El dominio de la función es $\mathbb{R}$
2) Calculamos $f'(x)$ y $f''(x)$
\( f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \)
\( f''(x) = -2e^{-x^2} + 4x^2 \cdot e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 - 2) \)
3) Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar los puntos de inflexión
$ e^{-x^2}(4x^2 - 2) = 0$
Como la exponencial nunca es cero, esta multiplicación vale cero si $(4x^2 - 2) = 0$ y los resultados de esta cuadrática igualada a cero son: \( x = \sqrt{\frac{1}{2}} \) y \( x = -\sqrt{\frac{1}{2}} \)
4) Dividimos la recta real en intervalos donde $f''(x)$ es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:
a) \( (-\infty, -\sqrt{\frac{1}{2}}) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba.
b) \( (-\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo.
c) \( (\sqrt{\frac{1}{2}}, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba.
Los puntos de inflexión se encuentran en \( x = -\sqrt{\frac{1}{2}} \) y \( x = \sqrt{\frac{1}{2}} \), donde la concavidad de la función cambia.